Per una funzione razionale, qual è la differenza tra un buco e un asintoto verticale?


Risposta 1:

Citando uno dei miei insegnanti di matematica delle superiori:

"Non dividere per zero."

A volte, è un numero diverso da zero che è diviso per zero:

40\frac{4}{0}

Ciò significa che esiste un numero moltiplicato per

00

si tradurrà in

44

. (Balderdash!)

A volte, è zero che è diviso per zero:

00\frac{0}{0}

Hmmm. Ciò significa che esiste un numero (singolare) che viene diviso per

00

si tradurrà in

00

. A prima vista uno studente potrebbe pensare che il numero sia

00

, da

0×0=00\times0=0

. Ma un altro studente, ricordando che qualsiasi numero diviso da solo sarà uguale a 1, quindi sostengono che il valore della frazione è 1 da allora

1×0=01\times0=0

.Anotherstudentfeelsthenumberis283since283×0=0.Sincethereareaninfinitenumberofanswers,to[math]00[/math],thereisreallyNOdefinitionfor[math]00[/math].. Another student feels the number is 283 since 283\times0=0. Since there are an infinite number of answers, to [math]\frac{0}{0}[/math], there is really NO definition for [math]\frac{0}{0}[/math].

Ora considera una funzione razionale con i suoi numeratori e denominatori tutti presi in considerazione.

(x+2)(x+4)(x2)(x3)(x2)(x+4)(x9)(x+8)\frac{(x+2)(x+4)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)(x-9)(x+8)}

Nella nostra funzione razionale sopra, le restrizioni nel dominio sono

xx ≠

{-8, -4, 2, 9}.

Sia gli asintoti verticali che i buchi nel grafico sono rappresentati nelle restrizioni sul dominio. Tali restrizioni sono causate quando un valore di

xx

sarebbe un tentativo di dividere per

00

.

Si scoprirà che due di queste restrizioni rappresentano il

xx

-coordinato di un buco nel grafico, gli altri due saranno asintoti verticali.

Mi piace iniziare trovando le forme intelligenti di 1 e separandole dai fattori che non corrispondono:

x2x2x+4x+4(x+2)(x3)(x9)(x+8)\frac{x-2}{x-2}·\frac{x+4}{x+4}·\frac{(x+2)(x-3)}{(x-9)(x+8)}

Le forme intelligenti di 1, sono sempre uguali a 1 tranne quando il numeratore e il denominatore equivalgono a 0. Il

xx

le coordinate dei fori sono 2 e -4.

Gli asintoti verticali si verificano in corrispondenza di tutti gli altri valori limitati di x che non sono coordinate x dei fori. Nel mio esempio, questi sono

x=9x=9

e

x=8x=-8

.


Risposta 2:

Il grafico di una funzione razionale è continuo ovunque sia definito. Un buco è il punto in cui la funzione non è definita.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

ha un buco a

x=2x=2

.

Se decidiamo

x2x-2

dall'alto e dal basso, otteniamo

y=x+2y=x+2

.

Il suo grafico è la linea retta

y=x+2y=x+2

ma il punto

(2,4)(2,4)

manca dal grafico (poiché non è mai stato definito per

x=2x=2

).

Un asintoto verticale si verifica quando il denominatore tende a zero.

ad es. per

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

è indefinito in

x=0x=0

. Ma, se guardi il grafico,

yy

tende a

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Qui,

x=0x=0

(Asse Y) è chiamato asintoto verticale.

In generale,

1xa\frac{1}{x-a}

ha l'asintoto verticale

x=ax=a

.

Un asintoto verticale è la linea verticale tracciata nel punto attorno al quale tende la funzione

±\pm \infty

,

Un buco è un punto in cui il grafico "si rompe".


Risposta 3:

Il grafico di una funzione razionale è continuo ovunque sia definito. Un buco è il punto in cui la funzione non è definita.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

ha un buco a

x=2x=2

.

Se decidiamo

x2x-2

dall'alto e dal basso, otteniamo

y=x+2y=x+2

.

Il suo grafico è la linea retta

y=x+2y=x+2

ma il punto

(2,4)(2,4)

manca dal grafico (poiché non è mai stato definito per

x=2x=2

).

Un asintoto verticale si verifica quando il denominatore tende a zero.

ad es. per

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

è indefinito in

x=0x=0

. Ma, se guardi il grafico,

yy

tende a

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Qui,

x=0x=0

(Asse Y) è chiamato asintoto verticale.

In generale,

1xa\frac{1}{x-a}

ha l'asintoto verticale

x=ax=a

.

Un asintoto verticale è la linea verticale tracciata nel punto attorno al quale tende la funzione

±\pm \infty

,

Un buco è un punto in cui il grafico "si rompe".


Risposta 4:

Il grafico di una funzione razionale è continuo ovunque sia definito. Un buco è il punto in cui la funzione non è definita.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

ha un buco a

x=2x=2

.

Se decidiamo

x2x-2

dall'alto e dal basso, otteniamo

y=x+2y=x+2

.

Il suo grafico è la linea retta

y=x+2y=x+2

ma il punto

(2,4)(2,4)

manca dal grafico (poiché non è mai stato definito per

x=2x=2

).

Un asintoto verticale si verifica quando il denominatore tende a zero.

ad es. per

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

è indefinito in

x=0x=0

. Ma, se guardi il grafico,

yy

tende a

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Qui,

x=0x=0

(Asse Y) è chiamato asintoto verticale.

In generale,

1xa\frac{1}{x-a}

ha l'asintoto verticale

x=ax=a

.

Un asintoto verticale è la linea verticale tracciata nel punto attorno al quale tende la funzione

±\pm \infty

,

Un buco è un punto in cui il grafico "si rompe".